Тема 2 Определенный интеграл

Математический анализ: Методические советы по выполнению домашней контрольной работы / М.А.Сагадеева - Челябинск: ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики», 2012.- 26 с.

Математический анализ:Методические советы по выполнению домашней контрольной работы: 080100.62 «Экономика»

ã Издательство ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики», 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 4

МЕТОДИЧЕСКИЕ Советы
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ.. 5

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ Тема 2 Определенный интеграл РАБОТЫ.. 15

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ Перечень ЛИТЕРАТУРЫ.. 22


ВВЕДЕНИЕ

Цель курса математический анализ в системе подготовки – освоение нужного математического аппарата.

Задачки исследования математического анализа как базовой дисциплины состоят в развитии логического и алгоритмического мышления, в выработке способностей решения главных задач математического анализа, что в итоге сформировывает навык исследования моделей реальных процессов.


МЕТОДИЧЕСКИЕ Советы Тема 2 Определенный интеграл ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Раздел IИНТЕГРАЛЬНОЕ ИCЧИЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Тема 1 Неопределенный интеграл

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Характеристики неопределенного интеграла (с подтверждением). Таблица главных интегралов. Интегрирование способом разложения, подмены переменной и по частям. Понятие о «неберущихся» интегралах. (1, гл. 10, § 10.1–10.5, 10.8; с. 247–265); (2, гл. 10); (3,гл.9).

Студенту нужно, сначала, разобраться в принципном вопросе: интегральное исчисление решает Тема 2 Определенный интеграл оборотную задачку – нахождение самой функции по ее производной. Эта задачка является более сложной по сопоставлению с задачей дифференцирования.

Понятие первообразной функции (1, с.251) связывается геометрической интерпретацией, когда первообразные отличаются на число (константу). Отсюда следует определение неопределенного интеграла, как «совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х (ось абсцисс)».

òf(x Тема 2 Определенный интеграл)dx=F(x)+C, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, F(x) – первообразная функция, ò – символ интеграла, С – константа.

Следует изучить характеристики (с подтверждениями) неопределенного интеграла (1, с.253, 254), знать табличные интегралы (1, с.255). Направить внимание на свойство 2 (1, с.253): дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(òf(x)dx Тема 2 Определенный интеграл)=f(x)dx, другими словами операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны (знаки d и ò взаимно уничтожают друг дружку).

Конкретное интегрирование подразумевает (1, примеры 1.10–10.3, с.255–257) сведение интегралов к табличным за счет тождественных преобразований и главных правил интегрирования.

Для вычисления интегралов используют линейную подстановку t=kx+b, также другие подстановки:

а) переменная интегрирования Тема 2 Определенный интеграл х заменяется функцией переменной t: x=j(t), а dx=j¢(t)dt; òf(x)dx=òf(j(t))j¢(t)dt;

б) новенькая переменная t вводится как функция переменной интегрирования x: t=j(x), dt=j¢(x)dx; òf(j(x))j¢(x)dx Тема 2 Определенный интеграл=òf(t)dt.

Последнюю подстановку комфортно использовать, если подынтегральное выражение содержит дифференциал (производную) функции j(х) с точностью до неизменного множителя.

Если интеграл, приобретенный после подмены переменной, стал «проще» данного (преобразован в табличный либо приводящийся к табличному), то цель подстановки достигнута.

После интегрирования функции по переменной Тема 2 Определенный интеграл t нужно возвратиться к прежней переменной х, выразив t через хпо формуле, применявшейся при подстановке.

Примеры разных подстановок даны в (1, § 10.3, 10.6).

Практическое применение формулы интегрирования по частям ((10.21), с. 263), если оно целенаправлено, связано с неувязкой правильного разбиения подынтегральноговыражения на сомножителиu и dv. Отметим, что формулу интегрирования по частям, обычно, комфортно использовать, если подынтегральная Тема 2 Определенный интеграл функция является произведением многочлена на показательную либо логарифмическую функцию (1, примеры 10.10–10.13, с. 263-269).

Рекомендуется разобрать задачки с решениями N 10.1–10.4, 10.6–10.8, 10.9-10.11, 10.13, 10.14, 10.18а, 10.23, 10.24а, 10.25-10.27 и задачки для самостоятельного решения N 10.33-10.39, 10.41-10 45, 10 47–10.54, 10.55–10.59, 10.61, 10.63-10.65, 10.68–10.70 по учебнику (1) и подобные задачки по практикуму (2), обратив повышенное внимание на интегрирование способом подстановки.

Тема 2 Определенный интеграл

Задачка о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный Тема 2 Определенный интеграл интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Характеристики определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла способом подмены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с нескончаемыми пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций. (1, гл.11, § 11.1-11.8, 11.10; с. 283–10, 312–314, 318–321); (2, гл. 11).

Студенту нужно разглядеть задачку о площади криволинейной трапеции Тема 2 Определенный интеграл и разобраться в том, что площадь криволинейной трапеции есть предел площади S под ломанной при неограниченном приближении ломанной к данной кривой.

Нужно разобраться с понятием интегральной суммы, ее геометрическим смыслом и перейти к понятию определенного интеграла (1, с.283–285).

Студент должен знать, что в отличие от неопределенного интеграла, который является семейством кривых, определенный Тема 2 Определенный интеграл интеграл является числом и определенный интеграл рассчитывается формулой Ньютона-Лейбница.

Благодаря этой формуле (1,ф.1.15) интеграл рассчитывается методом нахождения приращения первообразной для данной функции на отрезке интегрирования.

Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Студент должен разобраться в способах интегрирования, исследовав для этого характеристики определенного Тема 2 Определенный интеграл интеграла и аксиому о среднем (1, с.289–291).

Способ интегрирования по частям позволяет расширить класс интегрируемых функций за границы табличных интегралов(1, с. 241–245). При всем этом нужно использовать приемы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Способ подстановки также расширяет класс интегрируемых функций. При всем этом необходимо держать в голове, что при внедрении новейшей Тема 2 Определенный интеграл переменной меняются пределы интегрирования. После их конфигурации можно высчитать определенный интеграл, не ворачиваясь к старенькой переменной (1, пример 11.4), (2,с.259).


tema-2-gosudarstvennoe-regulirovanie-selskogo-hozyajstva-v-rf.html
tema-2-grazhdanskij-process-iski-v-rimskom-prave.html
tema-2-harakteristika-klyuchevih-ponyatij-turizma.html